La paradoja del Hotel Infinito

¿Cuál es el número más grande que puedes pensar? ¿Un millón? ¿Tres mil trillones? ¿Un millón de millones a la millonésima potencia? ¿Un googol, un uno con 100 ceros? ¿Un googolplex, un uno con un googol de ceros?  ¿Chorrocientos millongones? ¡Siempre podemos pensar en un número más grande! Sabemos que los números nunca se acaban: la cuenta se extiende hasta el infinito.

¿Qué es el infinito?

En el siglo Diecinueve, el ruso–alemán Georg Cantor desarrolló la idea de los conjuntos infinitos, y volvió al infinito un concepto operativo en las matemáticas. Sin embargo, surgieron paradojas bastante curiosas: como el hecho de que algunos infinitos son más grandes que otros. Y en 1929 David Hilbert se le ocurrió una historia para explicar estas extrañas propiedades. 

Paradoja del hotel infinito

Hilbert se imaginó a un millonario infinitamente rico que decidió construir el hotel más grande del mundo. Si lo hacía con un millón de habitaciones, alguien más podría hacer uno de un millón una habitaciones, si lo hacía de un googolplex de habitaciones, alguien lo podría hacer de un googolplex más una y ganarle el título. Así que decidió construir un hotel con infinitas habitaciones… pero eso le traería problemas a Rosa, la recepcionista. Esta temporada fue especialmente buena para el turismo y un infinito número de viajeros se hospedaron en el hotel de Hilbert. ¡Está lleno!

Pero llega ¡oh, sorpresa! un huésped más, y la recepcionista no sabe en dónde meterlo. Finalmente, se le ocurre una idea: llama por el sistema de avisos y les pide a sus huéspedes que se cambien de cuarto, al del número siguiente. Así, la persona que estaba en el cuarto 1 se pasa al 2, la del 2 se pasa al 3, la del cuarto 1000 se pasa al 1001 y así con cada uno de los infinitos huéspedes. De esa manera queda libre el cuarto 1 y el nuevo visitante se puede alojar cómodamente. Esta es la primera paradoja ¿El nuevo número de huéspedes, infinito más 1, es mayor que el primer infinito?

La inteligente recepcionista cree tenerlo todo resuelto ¿que llegan 400 huéspedes? Sólo les pide a los ya alojados que desalojen su cuarto y se alojen 400 cuartos más adelante. Puede alojar a cualquier número finito de huéspedes. 

Pero ¡ah! El hotel se ha vuelto ya muy famoso y un día llega un tren ¡con un infinito número de personas! ¡Rosa no sabe qué hacer! ¿Podrá su hotel lleno albergar a DOS infinitos números de personas? Como es muy ingeniosa hace lo siguiente: ahora les pide a los huéspedes que miren el número de su cuarto, lo multipliquen por dos, y se trasladen al cuarto que haya resultado. La persona del cuarto 1 se va al 2, la del 2 al 4, la del 3 al 6, la del 4 al 8, la del 5 al 10 y así con todos. ¿Te fijas? Quedaron ocupados los números pares y desocupados todos los números nones. Como la cantidad de números nones es infinita ¡ya pueden hospedarse los recién llegados! Y hemos dado con otra paradoja: sabemos que el conjunto de números naturales contiene al conjunto de números nones. Y también sabemos que tanto los números naturales como los nones son infinitos. ¡Esto significaría que el infinito de los nones es menor que el infinito de los números naturales!

La avispada y agotada recepcionista cree que ya podrá descansar: ya sabe cómo alojar a un número contable infinito de huéspedes. Sí: infinito contable. Es cuando ocurre algo inconcebible: llegan un infinito número de trenes con un infinito número de viajeros ¿Qué podrá hacer?  ¡Los viajeros exigen ser alojados o demandarán al hotel por publicidad engañosa! Rosa tiembla al pensar en infinitas denuncias ante la Procuraduría del Consumidor. Pero no sólo es perspicaz, sino también culta, así que revisa sus libros de matemáticas y encuentra varios métodos posibles. Afortunadamente elige uno que se vería bien en un video de curiosamente: el de los números triangulares. Si ordena los números de los cuartos en forma de triángulo, aquellos que quedan en la columna de hasta la derecha forman una secuencia de los llamados números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, etcétera. Le pide a los clientes ya hospedados que ocupen el número triangular que les corresponda según su cuarto, según la ecuación (n2+n)/2, donde “n” es el número de cuarto nuevo. Por ejemplo, la persona del cuarto 2 calcula: “2 al cuadrado es 4, más 2 es 6. 6 entre dos es 3… entonces pasará al cuarto 3, la del 3 hace el mismo cálculo y pasa al al 6 y así con todos. 

Si te fijas, quedó un triángulo de cuartos vacíos. Entonces le puede pedir a los viajeros del tren 1 que se acomoden en los cuartos vacíos de esta columna, a los del tren 2 en los de esta columna y así hasta el infinito. Cada viajero puede saber qué cuarto le toca usando esta fórmula, donde t es el número de tren y n es su número de pasajero dentro de su tren.   
X=((t+n–1)2 + t+n–1)/2+n

¡Bueno! Pues ya lo tiene resuelto.

La paradoja aplicada a los números reales e irracionales

Pero hay que mencionar que esta paradoja apenas lidia con el nivel más bajo de infinitud: el nivel de los infinitos contables de los números naturales, llamado nivel alef cero. El nivel de los números reales es más complicado: existirían un infinito número de habitaciones con números negativos, y entre una habitación y otra, un infinito número de habitaciones fraccionarias. ¡Y no empecemos con números irracionales, que además tienen un infinito número de decimales! 

¿Para qué sirve?

Todo es tan raro que algunos matemáticos heréticos, como el Doctor Norman Wildberger, de plano quieren desterrar el infinito de las matemáticas, con el argumento de que el infinito no representa nada real. Lo sorprendente es que, como humanos, nunca hemos experimentado lo infinito en la vida real e incluso es muy difícil imaginarlo, pero nuestras mentes nos permiten calcularlo, e incluso darle utilidad. Los límites que se manejan en cálculo y que se necesitan para explorar velocidades terminales o de escape hacen uso de ese concepto, y los Espacios de Hilbert requieren la idea del infinito en física cuántica.

Yo ya siento que he escrito la palabra “infinito” ¡un infinito número de veces!

¡CuriosaMente!