De la mosca de Descartes a las vacas esféricas, la geometría no sólo es útil para saber el tamaño de la Tierra sin tener que recorrerla toda... o para los cálculos del GPS, sino que descubrir las propiedades de las figuras y las relaciones entre sus dimensiones ¡Es curiosa… y fascinante!

Triángulos

Imagínate a Pitágoras sentado en el baño. No tiene celular para entretenerse así que se pone a ver las baldosas del piso. Una de las baldosas está rota de esquina a esquina…"Humm… mira, un triángulo. A cada lado le corresponde un cuadrado de diferente tamaño  ¿de qué tamaño sería un cuadrado que correspondiera a este lado más largo? A ver… ¡Órale! ¡El nuevo cuadrado es del mismo tamaño que si sumamos los cuadrados de los otros dos lados! ¿Será así con todos los triángulos rectángulos? ¡Si lo demuestro podría tener un teorema con mi nombre!"

Probablemente Pitágoras no descubrió así su famoso teorema. Pero sus descubrimientos maravillaron tanto a sus colegas que formaron un culto basado en la convicción de que el cosmos era, en esencia, números. Y los griegos, más que nadie antes, estaban interesados en la geometría, aunque las matemáticas y los humanos hemos estado en contacto desde el inicio de la civilización. Las usamos para repartir el botín de caza, contar nuestros hijos, y hasta para llevarnos al espacio. Realmente todos tenemos una comprensión innata por los números y las formas. Ésto ha sido vital para nuestra supervivencia y evolución como especie al convertir matemáticas en herramientas.

Los triángulos son súper importantes dentro de ingeniería especialmente en la construcción, y no es casualidad que los encontremos en todos lados. Por ejemplo, el famoso puente de San Francisco, el Bay Bridge, está conformado por cientos de ellos, formando triangulaciones. También en la Torre Eiffel de París o en el Golden Eye (la rueda de la fortuna más grande del mundo en Londres). Pero cerca de nosotros también podemos ver su uso, por ejemplo, en las grúas, edificios o en las torres de alta tensión que son las estructuras que hacen posible la transportación de la energía eléctrica que llega hasta nuestros hogares.

¿Por qué? El triángulo es la única figura geométrica que no se deforma cuando sufre esfuerzo, volviendo al triángulo la figura geométrica más rígida y estable (aunque depende de más factores como por ejemplo los materiales empleados). Pitágoras estaba muy interesado en los triángulos, pero fue Euclides, quien nació un par de cientos de años después, quien se considera el padre de la geometría: se empeñó en demostrar los teoremas para así obtener resultados “verdaderos y eternos” con los que asociamos a las matemáticas.

Axiomas de Euclides

En su obra “Elementos” Euclides formuló cinco axiomas, postulados muy sencillos, en los que se ha fundamentado la geometría por milenios. 

1. Dados dos puntos cualesquiera, siempre podemos trazar la recta que los une.

2. Cualquier segmento de línea puede prolongarse en una misma dirección.

3. Dado un Punto “P”, un segmento de línea “r” que empieza en “P”, puede trazarse un círculo cuyo centro será “P” y “r” su radio.

4. Todos los ángulos rectos son congruentes, es decir, iguales sin importar su posición u orientación.

5. Demuestra que los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados. Aunque en su época no se usaban grados para medir los ángulos, establece una relación proporcional entre ellos con uso de las rectas paralelas.

Parecen obvios, pero no son fáciles de demostrar. De hecho, en el Siglo Diecinueve Gauss, Lobachevsky y Bolyai consideraron la posibilidad de una geometría sin el quinto postulado, y descubrieron la Geometría elíptica y la hiperbólica, que es como si dibujaras tus figuras en una esfera y en una silla de caballo. ¡Los ángulos de un triángulo ahí no suman 180 grados! A este tipo de geometría se le llama “Geometría no Euclidiana”.

Geometría Analítica

Cuenta la historia que un día se encontraba el gran matemático francés René Descartes en su cama viendo a una mosca en el techo, cuando se preguntó cuál sería la mejor forma de describir dónde se encontraba exactamente esa mosca. Y así se cuenta cómo fue que René Descartes se dio a la tarea de desarrollar lo que hoy conocemos como coordenadas cartesianas; cuadrantes, ejes, números y variables para localizar un punto en el plano y el espacio o sea en dos y tres dimensiones. Por eso, a René Descartes se le conoce como el padre de la Geometría Analítica.

En pocas palabras, la geometría analítica es la parte de las matemáticas que establece la relación entre el álgebra y la geometría euclidiana, pues ésta estudia las propiedades de las figuras por procedimientos algebraicos. Por cierto: la palabra “geometría” viene del griego y significa “medir la tierra”. Podemos decir que el mundo es complejo y la geometría nos ayuda a entenderlo, simplificándolo. Dicen que, para los ingenieros, una vaca es una esfera.

¿Se imaginan una vaca esférica y su gran uso? Bueno, esto surgió como un chiste de los físicos y los ingenieros lo empleamos todo el tiempo. Las vacas esféricas se utilizan para explicar algo complejo de una manera extremadamente sencilla de tal modo que los aspectos y características fundamentales de un suceso o fenómeno queden claros. Por cierto. ¿Sabes en qué se diferencia una taza de una dona o rosquilla?... ¡En nada! Desde el punto de vista de la topología, que es una rama de las matemáticas y la geometría, una dona y una taza son iguales. Se dice que ¡Los topólogos son personas incapaces de distinguir una taza de una dona! jaja

La topología estudia las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalterados por transformaciones continuas, es decir, que en la topología es permitido doblar, estirar, torcer, encoger y agrandar los objetos siempre y cuando no se rompan o separen lo que estaba previamente unido ni añada nada que estuviera separado. Es por eso que a la topología coloquialmente se le conoce como “la geometría en la página de goma o chicle.”

Y sirve de muchísimas maneras, por ejemplo el mapa del metro de tu ciudad no representa genuinamente el trayecto del metro, no es cartográficamente exacto, pero sí cuenta con una aproximación útil sobre los trayectos y conexiones, y es información topológica. 

Simetría

Y dentro de la geometría la simetría también es impresionante. A los humanos nos fascina de manera innata la simetría y la podemos identificar con facilidad. La relacionamos con la belleza, por ejemplo.

Matemáticamente la simetría es una operación que puede hacerse con un objeto y que este no tenga cambios. Y geométricamente la podemos observar a través de las transformaciones geométricas como la rotación, reflexión, traslación y deslizamiento. Y un objeto matemático o geométrico puede tener más de un tipo de simetría:

• Simetría reflectiva

• Simetría central

• Simetría esférica

• Simetría cilíndrica

• Simetría traslacional

• Simetría antitraslacional

• Simetría de rotoreflexión

• Simetría helicoidal

• Y muchas más

En la naturaleza podemos maravillarnos visualmente de estas simetrías como en el panal de abejas, los copos de nieve, las mariposas, las libélulas, los girasoles, la estrella de mar, los pavorreales, las telarañas, nuestro rostro y cuerpo, nuestra galaxia y mucho más. En los inventos y creaciones ingenieriles del ser humano encontramos constantemente simetrías porque tratamos de replicar la belleza de la naturaleza. 

¡Pues por todo eso, y muchas maravillas más que ya no alcanzamos a explicar la geometría es fascinante!

¡CuriosaMente!