¿Qué es el número de Euler?

Entre las constantes matemáticas más importantes se encuentra el famosísimo Pi, el humilde pero fundamental uno, el poderoso número cero y el extrañísimo “i”: la raíz cuadrada de menos uno. Y destaca el número “e”: 2.71828... e infinitos decimales. Es el número de Euler, que forma parte central de la que se ha llamado “la ecuación más hermosa de las matemáticas”.

Pi y e

Al igual que Pi, la constante de Euler es un número irracional: o sea que sus decimales siguen y siguen y no paran nunca. Pi es definido geométricamente: es la relación que hay entre el diámetro de un círculo con su circunferencia… o lo que es lo mismo, entre el radio y la mitad de la circunferencia. Pero “e” no se define por la geometría, sino que proviene de otro tipo de cálculos. A diferencia de Pi, que es muy antiguo, “e” es muy reciente.

Bernoulli y el interés compuesto

El primero que hizo referencia a este número no fue Euler, sino John Napier, en una tabla de logaritmos publicada en 1618, pero no entró en detalles. En 1683 Jakob Bernoulli fue el primero en calcularlo. Y su primera aparición fue al resolver un problema de interés compuesto, que va más o menos así:

Imagina que tienes un peso y que quieres depositarlo en el banco para ganar intereses, y encuentras un banco muuuy generoso que te dará el 100% de interés al finalizar un año. Significa que al final del año tendrás dos pesos.

¿Qué tal si, en vez de darte de golpe el 100% de interés al final, te da el 50% a los seis meses y otro 50% al último? Significa que a los seis meses tendrás 1.50 pesos. El 50% de esa cantidad es 75 centavos.  Al final del año los sumas al 1.50 y te da 2.25 ¡Conviene más partir los intereses en dos periodos! ¿Convendrá más si el banco te paga intereses del 25% cuatro veces al año? Veamos… 1 peso inicial, más 25 centavos el primer trimestre son 1.25. El 25% de 1.25 es 0.32125. Lo sumamos y obtenemos 1.5625. El 25% de ese número es 0.390625. Al sumarlo obtenemos 1.95325. El 25% de eso es 0.48828125. Lo sumamos a la cantidad que ya teníamos ahorrada y al final del año tendremos 2.441 pesos ¡mientras más periodos tengamos más obtenemos! ¿Podría nuestro dinero crecer ilimitadamente si dividimos el tiempo en lapsos cada vez más cortos? Si te fijas, la operación que estamos haciendo se puede sintetizar en esta fórmula: en el caso de 2 periodos es 1 más 1 sobre 2 y todo al cuadrado. En el caso de los seis periodos es 1 más 1 sobre 6, todo a la sexta potencia. O sea, la fórmula general es 1 + 1 sobre n, todo a la n potencia. Entonces, usando la fórmula, si dividimos el año en 12 meses el número es de 2.613 pesos y si cobraras intereses cada uno de los 365 días del año, al final tendrías 2.7146 pesos. ¿Ya viste? Este número se empieza a parecer a… “e”. 

Bernoulli demostró que tu dinero no podía crecer infinitamente: el número siempre sería mayor que 2 y siempre menor a 3. Fue la primera vez que un número se definió como un proceso de límite. Para un millón de periodos, el número crece, pero en decimales: 2.7182804.

Y si Bernoulli hizo todo este trabajo ¿por qué se llama Número de Euler?

Euler

Quizá es una injusticia, pero Leonhard Euler fue el primero que lo publicó y en 1748 escribió su 

, donde reveló las 18 primeras cifras del número y fue el primero en demostrar que estas eran infinitas, o sea, que “e” era un número irracional. Además, Euler definió que se podía calcular como 1 más 1 sobre uno, más 1 sobre 1 por 2, más 1 sobre uno por dos por tres, etcétera.

¿Y por qué es tan importante?

Pues “e” se considera ni más ni menos que el puente hacia las matemáticas más avanzadas, o sea, el cálculo. Pero ¿tiene algo que ver con el mundo real? Pues mucho más de lo que te imaginas. “e” se usa siempre que necesitemos calcular el crecimiento o decrecimiento de algo en la naturaleza. Pero no sólo eso.

Por ejemplo, en probabilidad. Imagina que tienes en una caja tu colección de minerales: cada piedra en su compartimento, pero la caja se te cae y tienes que recoger rápidamente todas las piedras, sin fijarte dónde deberían ir. La probabilidad de que todas las piedras queden en un compartimento diferente se aproxima a 1 sobre e (y se aproxima más mientras más piedras tengas).

Imagina que tienes un equipo de básquetbol y quieres contratar al jugador más apto. Puedes evaluar a 100 jugadores, pero al final de cada evaluación sólo puedes o regresarlo a su casa o contratarlo y ya no entrevistar a nadie más. Entonces existe la posibilidad de que un jugador mejor se haya quedado en el resto que no evaluaste, o quizá dejes pasar al mejor jugador con la esperanza de que encontrarías a uno aún mejor después. La mejor estrategia sería evaluar a 100 sobre “e” jugadores: o sea unos 37, y llevar registro del que haya logrado la mejor calificación. Luego, contratar a la primera persona que lo supere: así aseguras 1 sobre “e” de probabilidades de haber escogido al mejor de los 100. Funciona no sólo con cien, sino con todos los candidatos que quieras.

Otra curiosidades de e

Si tienes una cuerda que mide, digamos 10 metros, y la divides en dos, obtienes dos pedazos de 5 metros. 5 por 5 es 25. Si la dividieras en 3, obtienes trozos de 3.33. Multiplicados dan 37.037. Si la dividieras en cuatro pedazos de 2.5 y los multiplicas entre ellos te dará 39.0625. ¡Aumentó! Pero si la divides en cinco trozos de 2 metros, el producto es sólo 32… El resultado más grande se obtiene cuando la medida cada una de las partes es más cercana al número de Euler. Esto aplica con cualquier medida de la cuerda original.

Elevar “e” a cualquier potencia arroja un ritmo de cambio que es siempre él mismo. Por ejemplo: vas en un auto cuya posición cambia con el tiempo y depende de “e” a la potencia del tiempo, su posición, velocidad y aceleración siempre van a coincidir: digamos que si llega a la posición de 145 metros, su velocidad será de 145 metros por segundo, su aceleración será 145 metros por segundo al cuadrado y así sucesivamente.

Ya entrando en cálculo, graficando la función de “e” a la x potencia podemos buscar el área debajo de la curva y encontraremos que el área desde infinito negativo a 1 es “e” a la 1, y de infinito negativo a 2, el área es igual a “e” al cuadrado y así con cualquier número. La famosa “curva de bell” de la distribución normal de cualquier cosa incluye el número de Euler. ¡El número de Euler incluso se relaciona con la velocidad en la que una pizza se enfría al salir del horno!

“e” tiene un papel central en la llamada “fórmula más hermosa de las matemáticas”: la identidad de Euler, que se expresaría como: “e” elevada a la potencia de “i” multiplicada por “pi”, más 1, es igual a cero.

Se trata de un caso especial deducido a partir de la Fórmula de Euler, que viene de la trigonometría: , donde “x”, pudiendo ser cualquier número real, es pi.  Como la fórmula de Euler proviene de la relación entre las funciones de seno y coseno, es posible aplicarlas al análisis de señales, corrección de sonido, mecánica cuántica, circuitos, deformación de resortes, ondas electromagnéticas y cualquier fenómeno físico que manifieste algún tipo de oscilación. 

¿Y por qué se dice que es tan hermosa la identidad de Euler? Su elegancia radica en que muestra una profunda conexión entre los números más fundamentales de las matemáticas: la unidad, el cero, el número “i” (base de los números imaginarios), el número “pi” (la constante geométrica) y nuestro ahora ya conocido “e”: el número de Euler.

Por cierto: la identidad de euler también se puede expresar así: . Y un ángulo de 180 grados, equivale a 3.1416 radianes, o sea, a “pi”. Si graficamos la identidad de Euler, esta se puede interpretar como “rotar cualquier punto “pi” radianes desde el punto de origen, equivale a reflejarlo, o lo que es lo mismo, multiplicarlo por menos uno.

¡CuriosaMente!